指数分布是一种常见的连续概率分布，广泛应用于描述等待时间、寿命、服务等随机事件。在统计学中，计算随机变量的期望和方差是分析其特性的重要步骤。本文将围绕指数分布的期望与方差方法进行解析，帮助读者深入理解这一概率分布。

指数分布的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）如下：

- 指数分布的PDF：\( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \)，其中 \( x > 0 \)，\( \lambda > 0 \)。 - 指数分布的CDF：\( F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \)，其中 \( x > 0 \)，\( \lambda > 0 \)。

期望的计算

指数分布的期望值是衡量随机变量平均等待时间的指标。计算期望值的方法如下：

指数分布的期望 \( E(X) \) 可以通过以下公式计算：

\[ E(X) = \int_0^\infty x f(x) dx = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} dx \] 为了计算这个积分，我们可以使用部分积分法。设 \( u = x \)，\( dv = \lambda e^{-\lambda x} dx \)，则 \( du = dx \)，\( v = -e^{-\lambda x} \)。根据部分积分公式 \( \int u dv = uv - \int v du \)，我们有： \[ E(X) = \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\lambda x} dx \] 由于 \( e^{-\lambda x} \) 在 \( x \to \infty \) 时趋近于0，因此 \( \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^\infty = 0 \)。\( \int_0^\infty e^{-\lambda x} dx \) 是一个标准的指数分布积分，其结果为 \( \frac{1}{\lambda} \)。指数分布的期望为： \[ E(X) = \frac{1}{\lambda} \]

方差的计算

方差是衡量随机变量离散程度的指标。指数分布的方差可以通过以下公式计算：

指数分布的方差 \( Var(X) \) 可以通过以下公式计算：

\[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \] 其中 \( E(X^2) \) 是随机变量 \( X \) 的平方的期望值。我们可以通过以下积分计算 \( E(X^2) \)： \[ E(X^2) = \int_0^\infty x^2 f(x) dx = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx \] 同样地，我们可以使用部分积分法来计算这个积分。设 \( u = x^2 \)，\( dv = \lambda e^{-\lambda x} dx \)，则 \( du = 2x dx \)，\( v = -e^{-\lambda x} \)。根据部分积分公式，我们有： \[ E(X^2) = \left[ -x^2 e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + 2 \int_0^\infty x e^{-\lambda x} dx \] 由于 \( e^{-\lambda x} \) 在 \( x \to \infty \) 时趋近于0，因此 \( \left[ -x^2 e^{-\lambda x} \right]_0^\infty = 0 \)。\( \int_0^\infty x e^{-\lambda x} dx \) 的结果为 \( \frac{1}{\lambda^2} \)。\( E(X^2) \) 为： \[ E(X^2) = 2 \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{2}{\lambda^2} \] 结合期望值 \( E(X) = \frac{1}{\lambda} \)，我们可以计算方差： \[ Var(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \left( \frac{1}{\lambda} \right)^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2} \]

结论

本文围绕指数分布的期望与方差方法进行了详细的解析。通过计算，我们得到了指数分布的期望 \( E(X) = \frac{1}{\lambda} \) 和方差 \( Var(X) = \frac{1}{\lambda^2} \)。这些结果对于理解和应用指数分布在实际问题中具有重要意义。